解:因为圆N:, 所以圆心N为(-2,0),半径, ………………… 1分 设,, (1)当直线的斜率为1时,设的方程为即 因为直线是圆N的切线,所以,解得或(舍) 此时直线的方程为, ………………… 3分 由 消去得, 所以,,, ………………… 4分
所以弦长 …………………6分 (2)①设直线的方程为即() 因为直线是圆N的切线,所以, 得 ………① ……………… 8分 由 消去得 , 所以即且, ,. ………………… 9分 因为点M和点N关于直线对称,所以点M为 所以,, 因为,所以+ …… 10分 将A,B在直线上代入化简得 ……… 11分 代入,得 化简得 ………② ………… 12分 ①+②得 即,解得或 当时,代入①解得,满足条件且, 此时直线的方程为; 当时,代入①整理得 ,无解. …………… 13分 ② 当直线的斜率不存在时, 因为直线是圆N的切线,所以的方程为, 则得,, 即 由①得: = 当直线的斜率不存在时不成立. ……………… 14分 综上所述,存在满足条件的直线,其方程为 ……………… 15分 另解: (2)设直线的方程为即(必存在) 因为直线是圆N的切线,所以, 得 ………① ……………… 8分 由 消去得 , 所以即 ………………… 9分 ,. ………………… 10分 因为点M和点N关于直线对称,所以点M为 所以,, 因为,所以+ …… 11分 将A,B在直线上代入化简得 ……… 12分 代入,得
化简得 ………② ………… 13分 ①+②得 即,解得或 …… 14分 当时,代入①解得,满足条件; 当时,代入①整理得 ,无解. 综上所述,存在满足条件的直线,其方程为 ……………… 15分 |