已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引切线PM,M为切点,O为坐
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已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程; (2)从圆C外一点P(x,y)向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标. |
答案
1、切线方程为y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0. 2、P(-,). |
解析
(1)圆C:x2+y2+2x-4y+3=0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2, ∴圆心C(-1,2),半径r=. 设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a、b. 当a=b=0时, 切线方程可设为y=kx, 即kx-y=0. 由点到直线的距离公式得 =.解得k=2±. ∴切线方程为y=(2±)x. 当a=b≠0时, 切线方程为+=1, 即x+y-a=0. 由点到直线的距离公式得 =. 解之,得a=-1或a=3. ∴切线方程为x+y+1=0,x+y-3=0. 总之,所求切线方程为y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0. (2)连结MC,则|PM|2=|PC|2-|MC|2. ∵|PM|=|PO|, ∴|PC|2-|MC|2=|PO|2, 即(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2. 整理得x=2y-. ∴|PM|=|PO|= =. 当y=-=时,|PM|最小, 此时x=2×-=-. ∴P(-,). |
举一反三
点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是 ( ) |
若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是( ) |
设直线l过点(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是( ) |
若原点到直线ax+by=1上的任意点距离最小值是2,则圆x2+y2=1上任一点到该直线的最大距离是( ) |
圆x2+y2=1距直线x-y-5=0最远的点是________________. |
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