已知椭圆C中心在原点、焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C中心在原点、焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）设椭圆的长半轴为，半焦距为，则
     解得 
∴ 椭圆C的标准方程为  ．    ………………… 4分
（Ⅱ）由方程组  消去，得
 
由题意：△  
整理得：   ① ……7分
设，则
，………………… 8分
由已知， ，且椭圆的右顶点为
∴　　　　　………………… 10分
即 
也即 
整理得：
解得：  或，均满足①  ……………………… 12分
当时，直线的方程为，过定点，舍去
当时，直线的方程为，过定点，
故，直线过定点，且定点的坐标为．……………………… 14分