在△ABC中,两个定点A(-3,0)B(3,0),△ABC的垂心H(三角形三条高线的交点)是AB边上高线CD的中点.(1)求动点C的轨迹方程;(2)斜率为2的直
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在△ABC中,两个定点A(-3,0)B(3,0),△ABC的垂心H(三角形三条高线的交点)是AB边上高线CD的中点. (1)求动点C的轨迹方程; (2)斜率为2的直线l交动点C的轨迹于P、Q两点,求△OPQ面积的最大值(O是坐标原点). |
答案
(1)设动点C(x,y)则D(x,0).因为H是CD的中点,故H(x,) 因为AH⊥BC所以kAH•kBC=-1故•=-1 整理得动点C的轨迹方程+=1(y≠0) (2)设l:y=2x+m并代入+=1(y≠0)得6x2+4mx+m2-18=0, ∵△=(4m)2-4×6×(m2-18)>0 ∴54-m2>0 即m∈(-3,3), |PQ|== 又原点O到直线l的距离为d= ∴S△OPQ=×××=≤×= 当且仅当54-m2=m2即m=±3时等号成立, 故△OPQ面积的最大值为. |
举一反三
已知原点O(0,0),则点O到直线4x+3y+5=0的距离等于 ______. |
已知圆方程:x2+y2-2ax+2y+a+1=0,求圆心到直线ax+y-a2=0的距离的取值范围. |
已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则的最小值为______. |
点P(1,2)到直线4x+3y-1=0的距离为______. |
已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0.求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程. |
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