已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB,过O点作OM⊥AB交AB于点M,求点M的轨
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB,过O点作OM⊥AB交AB于点M,求点M的轨迹。 |
答案
点M的轨迹是以O为圆心,为半径的圆。 |
解析
以O点为坐标原点,长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则椭圆的方程为。 以O点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为。 由于OA⊥OB,可设A(r1,q1),,则, , 所以, 故。 因为OM⊥AB,由等面积得|OM|·|AB|=|OA|·|OB|, 从而|OM|2·|AB|2=|OA|2·|OB|2,,且|AB|2=|OA|2+|OB|2, 即,所以, 故点M的轨迹是以O为圆心,为半径的圆。 |
举一反三
已知圆和点,若定点和常数满足:对圆上那个任意一点,都有,则: (1) ; (2) . |
已知直线与圆心为的圆相交于两点,且,则实数的值为_________. |
如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为. (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.
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若圆的半径为1,其圆心与点关于直线对称,则圆的标准方程为_______. |
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,四边形是的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且.
(Ⅰ)证明:; (Ⅱ)设不是的直径,的中点为,且,证明:为等边三角形. |
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