如图△为直角三角形,,以为直径的圆交于点,点是边的中点,连交圆于点.(Ⅰ)求证:、、、四点共圆;(Ⅱ)设,,求的长.
题型:不详难度:来源:
如图△为直角三角形,,以为直径的圆交于点,点是边的中点,连交圆于点.
(Ⅰ)求证:、、、四点共圆; (Ⅱ)设,,求的长. |
答案
(1)(1)做出辅助线,首先证明两个三角形全等,根据三角形三边对应相等,得到两个三角形全等,得到对应角相等,从而得到四边形一对对角互补,即四点共圆. (2)5 |
解析
试题分析:(1)证明:连结OE,BE ∵AB为圆O直径 ∴BE⊥AE OB=OE ∴∠BEO=∠OBE Rt△BEC中 D为BC中点 ∴BD=DE ∠BED=∠DBE ∠OED=∠BEO+∠BED=∠OBE+∠DBE=∠OBD=∠ABD=90° ∠OED+∠OBD=180° ∴O、B、D、E四点共圆 5分 (II)解:延长DO交圆于H, O、D分别为AB、AC中点 OD=AC=3 MH=AB=4 DM=1 由(I)OE⊥DE E为圆上 ∴DE为圆O切线 DE2=DM·DH=1·(4+1)=5 10分 点评:本题考查三角形全等,考查四点共圆,考查圆的切割线定理,是一个平面几何的综合题目,解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系 |
举一反三
如图,AB、CD是圆的两条弦,AB与CD交于, , AB是线段CD的中垂线.若AB=6,CD=,则线段AC的长度为 . |
若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是( ).A.(x-2)2+(y+1)2=1 | B.(x-2)2+(y-1)2=1 | C.(x-1)2+(y+2)2=1 | D.(x+1) 2+(y-2)2=1 |
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若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程为____________________。 |
求圆心在直线3x+y-5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程 |
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