试题分析:⑴由题可知,圆心到定点的距离与到定直线的距离相等 由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 所以动圆圆心的轨迹的方程为. ⑵解法1、 设,则中点为,因为两点关于直线对称,所以,即,解之得8分 将其代入抛物线方程,得:,所以. 联立,消去,得: 由,得, 注意到,即,所以,即, 因此,椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为. 解法2、 设 ,因为两点关于直线对称,则, 即,解之得 即,根据对称性,不妨设点在第四象限,且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为 联立,消去,得: 由,得, 注意到,即,所以,即, 因此,椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为. 点评:本题主要考查了圆的切线的性质,圆的标准方程的求法,以及解析几何中的对称性问 题,属于常规题. |