有关解析几何的问题,常常涉及曲线的方程,此时往往要注意利用有关曲线的定义来解决,同时还会涉及直线与有关曲线的交点问题,在处理过程中往往需要结合二次方程的根与系数的关系解决 (I)设椭圆E的方程为,
将A(2,3)代入上式,得 ∴椭圆E的方程为 (II)解法1:由(I)知,所以直线AF1的方程为:直线AF2的方程为:由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.设上任一点,则 若(因其斜率为负,舍去). 所以直线l的方程为: 解法2:
(III)解法1: 假设存在这样的两个不同的点
由于M在l上,故 ① 又B,C在椭圆上,所以有两式相减,得 即将该式写为,并将直线BC的斜率和线段BC的中点,表示代入该表达式中,得 ② ①×2—②得,即BC的中点为点A,而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B和C. 解法2:假设存在,则 得一元二次方程则是该方程的两个根,由韦达定理得于是∴B,C的中点坐标为又线段BC的中点在直线 即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点. |