已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：O，A，P，Q四点共圆.

题型：不详难度：来源：

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延长CA到P，再延长AB
到Q，使AP=BQ.求证：O，A，P，Q四点共圆.

答案

证明 连接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.
∴∠OCP=∠OAC.
由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，
∴∠OAC=∠OAQ，
从而∠OCP=∠OAQ，
在△OCP和△OAQ中，
由已知CA=AB，AP=BQ，
∴CP=AQ.又OC=OA，
∠OCP=∠OAQ，
∴△OCP≌△OAQ，
∴∠CPO=∠AQO，
∴O，A，P，Q四点共圆.

解析

证明 连接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.
∴∠OCP=∠OAC.
由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，
∴∠OAC=∠OAQ，
从而∠OCP=∠OAQ，
在△OCP和△OAQ中，
由已知CA=AB，AP=BQ，
∴CP=AQ.又OC=OA，
∠OCP=∠OAQ，
∴△OCP≌△OAQ，
∴∠CPO=∠AQO，
∴O，A，P，Q四点共圆.