已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1. (1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;(2)证明:曲线C

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已知曲线C:x²+y²+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
(1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;
(2)证明:曲线C过定点;
(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.

答案

(1)圆的圆心都在直线2x-y-5=0上. (2)曲线C过定点(1,-3). (3).

解析

(1)原方程可化为(x+k)²+(y+2k+5)²=5(k+1)².
∵k≠-1,
∴5(k+1)²>0.
故方程表示圆心为(-k,-2k-5),
半径为的圆.
设圆心为(x,y),有
消去k,得2x-y-5=0.
∴这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.
(2)将原方程变形成
k(2x+4y+10)+(x²+y²+10y+20)=0.
上式关于参数k是恒等式,
∴
解得
∴曲线C过定点(1,-3).
(3)∵圆C与x轴相切,
∴圆心到x轴的距离等于半径,
即|-2k-5|=|k+1|.
两边平方,得(2k+5)²=5(k+1)².
∴.