如图所示,AB是⊙O的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O的切线,切点为
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如图所示,AB是⊙O的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O的切线,切点为
题型:不详
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如图所示,AB是⊙O的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O的切线,切
点为H.求证:(1)C,D,F,E四点共圆;
(2)GH
2
=GE·GF.
答案
(1)连接BC.∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC,
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC,
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C,D,F,E四点共圆. 7分
(2)∵GH为⊙O的切线,GCD为割线,
∴GH
2
=GC·GD.
由C,D,F,E四点共圆,
得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴
=
,
即GC·GD=GE·GF.
∴CH
2
=GE·GF.
解析
(1)连接BC.∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC,
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC,
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C,D,F,E四点共圆. 7分
(2)∵GH为⊙O的切线,GCD为割线,
∴GH
2
=GC·GD.
由C,D,F,E四点共圆,
得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴
=
,
即GC·GD=GE·GF.
∴CH
2
=GE·GF. 14分
举一反三
如图所示,△ABC是⊙O的内接三角形,且AB=AC,AP是∠BAC的外角的平分线,弦CE的延长线交AP于点D.求证:AD
2
=DE·DC.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,圆O的两弦AB和CD交于点E,
EF∥CB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.
(1)求证:△DFE∽△EFA;
(2)如果EF=1,求FG的长.
题型:不详
难度:
|
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已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC的外心,延长CA到P,再延长AB
到Q,使AP=BQ.求证:O,A,P,Q四点共圆.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED
2
=EC·EB.
题型:不详
难度:
|
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已知:如图所示,△ABC内接于⊙O,过点A的切线交BC,的延长线于点P,D为AB的中点,DP交AC于M.求证:
=
.
题型:不详
难度:
|
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