如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP是∠BAC的外角的平分线，弦CE的延长线交AP于点D.求证：AD2=DE·DC.

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如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP是∠BAC的外角的平分线，弦CE的延长线交AP于点D.求证：AD²=DE·DC.

答案

证明连接AE，则∠AED=∠B.
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
∵∠QAC=∠B+∠ACB，

又∠QAP=∠PAC，
∴∠DAC=∠B=∠AED.
又∠ADE=∠CDA，
∴△ACD∽△EAD，
从而

，
即AD²=DE·DC.

解析

证明连接AE，则∠AED=∠B.
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
∵∠QAC=∠B+∠ACB，

又∠QAP=∠PAC，
∴∠DAC=∠B=∠AED.
又∠ADE=∠CDA，
∴△ACD∽△EAD，
从而

，
即AD²=DE·DC.

举一反三

如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，
EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.
（1）求证：△DFE∽△EFA；
（2）如果EF=1，求FG的长.

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已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延长CA到P，再延长AB
到Q，使AP=BQ.求证：O，A，P，Q四点共圆.

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如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED²=EC·EB.

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已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，过点A的切线交BC，的延长线于点P，D为AB的中点，DP交AC于M.求证：

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给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P₀(4,1,2)的距离为,求P点的坐标.

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