已知圆C:x2+y2+x-6y+3=0和直线l:x+2y+m=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求:(Ⅰ)圆C的圆心坐标与半径;(Ⅱ)m的值及直线
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已知圆C:x2+y2+x-6y+3=0和直线l:x+2y+m=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ (O为坐标原点),求: (Ⅰ)圆C的圆心坐标与半径; (Ⅱ)m的值及直线l在y轴上的截距. |
答案
(Ⅰ)C:(x+)2+(y-3)2=()2 圆C的圆心坐标C(-,3),半径r=; (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2) 则P,Q的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解, 消去x,得(2y+m)2+y2+(-2y-m)-6y+3=0 即5y2+4(m-2)y+m2-m+3=0 则 | △=16(m-2)2-20(m2-m+3)=-4(m2+11m-1)>0 | y1+y2=-(m-2) | y1y2=(m2-m+3) |
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因为OP⊥OQ⇒x1x2+y1y2=0 又 x1x2+y1y2 =(2y1+m)(2y2+m)+y1y2=5y1y2+2m(y1+y2)+m2 =m2-m+3+2m[-(m-2)]+m2=(2m2+11m+15)=0 即(m+3)(2m+5)=0, 解得:m=-3,m=- 此时△>0 又因为直线l在y轴上的截距是-m,即或. |
举一反三
以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为______. |
已知圆心在直线3x-y=0上的圆C在x轴的上方与x轴相切,且半径为3. (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)已知直线l:y+1=k(x+2)与圆C相切,求直线l的方程. |
圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于A、B,|AB|=,则该圆的标准方程是______. |
已知圆C的圆心坐标为(2,-1),且与x轴相切. (1)求圆C的方程; (2)求过点P(3,2)且与圆C相切的直线方程; (3)若直线过点P(3,2)且与圆C相切于点Q,求线段PQ的长. |
已知点N(,0),以N为圆心的圆与直线l1:y=x和l2:y=-x都相切. (Ⅰ)求圆N的方程; (Ⅱ)设l分别与直线l1和l2交于A、B两点,且AB中点为E(4,1),试判断直线l与圆N的位置关系,并说明理由. |
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