已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．（1）求圆C的圆心的轨迹方程；（2）设|AM|=m，|AN|=n，求mn+nm的最大值及

题型：不详难度：来源：

已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值及此时圆C的方程．△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l₁：（sin²A）x+（sinA）y-a=0，l₂：（sin²B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（　　）

A．、重合

B．相交（不垂直）

C．垂直

D．平行

答案

（1）设圆C的圆心为C（x，y），
依题意圆的半径   r=

x2+(y-a)2

，
∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．
∴|y|²+a²=r²，
故x²+（y-a）²=|y|²+a²，
∴x²=2ay，
∴圆C的圆心的轨迹方程为x²=2ay．
（2）设∠MAN=θ，
|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，
∴m²+n²-2m•n•cosθ=4a²，
∵S△MAN=

1

2

mnsinθ=

1

2

•a•2a，
∴

n

m

=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
当θ=

π

4

时，

m

n

+

n

m

取最大值2

2

，
∵∠MCN=2∠MAN=

π

2

，
∴点C的坐标为(±

2

a，a)，
故

m

n

+

n

m

的最大值为2

2

，
此时圆C的方程为(x-

2

a)2+(y-a)2=2a2，
或(x+

2

a)2+(y-a)2=2a2．
由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得  lg（sinB）²=lg（sinA•sinC）．
∴sin²B=sinA•sinC．  
设l₁：a₁x+b₁y+c₁=0，l₂：a₂x+b₂y+c₂=0．
∵

a1

a2

=

sin2A

sin2B

=

sin2A

sinAsinC

=

sinA

sinC

，

b1

b2

=

sinA

sinC

，

c1

c2

=

-a

-c

=

-2RsinA

-2RsinC

=

sinA

sinC

，
∴

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，
∴l₁与l₂重合，
故选A．