圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.

圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.

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圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.
答案
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则k、2为x2+Dx+F=0的两根,
∴k+2=-D,2k=F,
即D=-(k+2),F=2k,
又圆过R(0,1),故1+E+F=0.
∴E=-2k-1.
故所求圆的方程为
x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
圆心坐标为(
k+2
2
2k+1
2
).
∵圆C在点P处的切线斜率为1,
∴kCP=-1=
2k+1
2-k
,∴k=-3.∴D=1,E=5,F=-6.
∴所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.
举一反三
圆心为(3,-4)且与直线3x-4y-5=0相切的圆的标准方程为______.
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以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是______.
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已知α∈[0,π],试讨论方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线的类型.
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圆x2+y2-4x+2y=0的圆心和半径分别(  )
A.(2,-1),


5
B.(2,-1),5C.(-2,1),


5
D.(-2,1),5
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已知方程x2+y2+x-6y+m=0,
(1)若此方程表示的曲线是圆C,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为原点),求圆C的方程;  
(3)在(2)的条件下,过点(-2,4)作直线与圆C交于M,N两点,若|MN|=4,求直线MN的方程.
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