已知方程x2+y2+x-6y+m=0,(1)若此方程表示的曲线是圆C,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ
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已知方程x2+y2+x-6y+m=0, (1)若此方程表示的曲线是圆C,求m的取值范围; (2)若(1)中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为原点),求圆C的方程; (3)在(2)的条件下,过点(-2,4)作直线与圆C交于M,N两点,若|MN|=4,求直线MN的方程. |
答案
(1)方程x2+y2+x-6y+m=0即 (x+)2+(y-3)2= -m,∴-m>0,解得 m<. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).∵OP⊥OQ,故 x1•x2+y1•y2=0 ①. 由 | x2+y2+x-6y+m=0 | x+ 2y -3=0 |
| | 得 5y2-20y+12+m=0,∴y1+y2=4,y1•y2=. ∴x1•x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1•y2. 代入①可得5y1•y2-6(y1+y2)+9=0,解得m=3,满足△>0. 圆C的方程为:(x+)2+(y-3)2=. (3)当直线MN垂直x轴时,直线MN的方程为:x=2,此时,直线MN与圆的焦点分别为(-2,1)和(-2,5), 满足|MN|=4. 当直线MN不垂直x轴时,设直线MN斜率为k,直线MN的方程为:y-4=k(x+2),即 kx-y+2k+4=0. 把直线MN的方程代入圆的方程化简可得( k2+1)x2+(4k2+2k+1)x+(k2+4k-5)=0. 故 x3+x4=-,x3•x4=. 由弦长公式可得 4=•|x3 -x4|=•, 解得k=, 故所求的直线MN的方程为 5x-12y=58=0. |
举一反三
(1)已知点A(,0)、B(3,0),动点M到A与B的距离比为常数,求点M的轨迹方程. (2)求与圆(x-1)2+y2=1外切,且与直线x+y=0相切于点Q(3,-)的圆的方程. |
已知圆c关于y轴对称,经过抛物线y2=4x的焦点,且被直线y=x分成两段弧长之比为1:2,求圆c的方程. |
设a>0,b>0,4a+b=ab,则在以(a,b)为圆心,a+b为半径的圆中,面积最小的圆的标准方程是 ______. |
已知过点A(-1,4)的圆的圆心为C(3,1). (1)求圆C的方程; (2)若过点B(2,-1)的直线l被圆C截得的弦长为4,求直线l的方程. |
以(-1,2)为圆心,半径为的圆的标准方程为______. |
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