解:(Ⅰ)设圆C的半径为a(a>0),则由题意得圆 心坐标为(a,2), 因为|MN|=3,所以, 故圆C的方程为; (Ⅱ)证明:把y=0代入方程,解得x=1,或x=4, 即点M(1,0),N(4,0)., (i)当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1), 由,得(1+k2)x2-2k2x+k2-4=0, 因为点M在圆O内,所以上述方程有两实根,设A(x1,y1),B(x2,y2), 从而 因为 , 而(x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4) =2x1x2-5(x1+x2)+8
, 所以,即kAN+kBN=0,故∠ANM=∠BNM, (ii)当直线AB⊥x轴时,∠ANM=∠BNM成立, 所以∠ANM=∠BNM。 |