已知函数f(x)=-x2+2x+c的图象与两坐标轴交于P,Q,R三点。(Ⅰ)求过P,Q,R三点的圆的方程;(Ⅱ)试探究,对任意实数c,过P,Q,R三点的圆都经过
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已知函数f(x)=-x2+2x+c的图象与两坐标轴交于P,Q,R三点。 (Ⅰ)求过P,Q,R三点的圆的方程; (Ⅱ)试探究,对任意实数c,过P,Q,R三点的圆都经过定点(坐标与c无关)。 |
答案
解:(Ⅰ)不妨设函数f(x)=-x2+2x+c的图象与x轴交于P,Q两点,与y轴交于R点, 所以, 即c>-1,且c≠0, 设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r,则a=1, 根据点R(0,c)及|CP|=r=|CR|, 得 即1+c+b2=1+b2-2bc+c2, 由c≠0,得,所以, 故过P,Q,R三点的圆的方程为(c>-1,c≠0); (Ⅱ)解法一:圆的方程可化为: x2+y2-2x+y-c(y+1)=0(c>-1,c≠0) 由 求得定点A(0,-1),B(2,-1),与c无关。 解法二:由于c>-1,且c≠0,不妨令c=1,2分别代入圆的方程, 求得这两个圆的交点分别足A(0,-1),B(2,-1), 对于任意的c,把点A,B的坐标分别代入圆的方程,等式恒成立,与c无关,故所求的定点是A(0,-1),B(2,-1)。 |
举一反三
与圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x-y=0对称的圆的方程是 |
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A.(x+4)2+(y-3)2=1 B.(x-3)2+(y-4)2=1 C.(x+3)2+(y-4)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1 |
已知m∈R,直线l:2mx-(m2+1)y=-4m和圆C:x2+y2-8x+16-8m2=0。 (Ⅰ)求直线l斜率的取值范围; (Ⅱ)若直线l与圆C相交于A,B两点,且=-4m2,求圆C的方程。 |
已知圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,则圆C的圆心坐标和半径r分别为 |
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A.(1,2),r=2 B.(-1,-2),r=2 C.(1,2),r=4 D.(-1,-2),r=4 |
求圆心C在直线y=2x上,且经过原点O及点M(3,1)的圆C的方程。 |
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已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=1。 (Ⅰ)求圆心坐标及圆的半径长; (Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+2,求证:直线l与圆C必相交; (Ⅲ)从圆外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为A,O为坐标原点,且有|PA|=|PO|,求点P的轨迹方程。 |
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