设a、b、c都是整数,过圆x2+y2=(3a+1)2外一点P(b3-b,c3-c)向圆引两条切线,试证明:过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(所谓格点是指:
题型:不详难度:来源:
设a、b、c都是整数,过圆x2+y2=(3a+1)2外一点P(b3-b,c3-c)向圆引两条切线,试证明:过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(所谓格点是指:横、纵坐标都是整数的点). |
答案
∵P(b3-b,c3-c),O(0,0), ∴线段OP的中点的坐标为((b3-b),(c3-c)), ∴以OP为直径的圆的方程为:[x-(b3-b)]2+[y-(c3-c)]2=(b3-b)2+(c3-c)2,(1) 将x2+y2=(3a+1)2代入(1)得:(b3-b)x+(c3-c)y=(3a+1)2,它就是过两切点的直线方程, 假设此切线方程存在格点, 由b3-b=b(b-1)(b+1),得到它为三个连续数的乘积,显然能被3整除, 同理,c3-c亦能被3整除, ∴(3a+1)2能被3整除, ∴3a+1也必须能被3整除, 显然这是不可能的, 则过这两切点的直线上的任意一点都不是格点. |
举一反三
自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为( ) |
圆(x-1)2+(y+)2=1的切线方程中有一个是( ) |
过点(3,-4)且与圆x2+y2=25相切的直线方程是______. |
直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5相切,则m的值为______. |
过点(3,)且与圆x2+y2-4x=0相切的直线方程是______. |
最新试题
热门考点