已知曲线C:x2+y2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0.(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点;(2)当a≠1时,若曲线C与直线y=2x-1相切,求a
题型:不详难度:来源:
已知曲线C:x2+y2-2ax-2(a-1)y-1+2a=0. (1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点; (2)当a≠1时,若曲线C与直线y=2x-1相切,求a的值; (3)对所有的a∈R且a≠1,是否存在直线l与曲线C总相切?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由. |
答案
(1)证明:曲线C的方程可变形为(x2+y2+2y-1)+(-2x-2y+2)a=0, 由,…(2分) 解得,点(1,0)满足C的方程, 故曲线C过定点(1,0).…(4分) (2)原方程配方得(x-a)2+(y-a+1)2=2(a-1)2;由于a≠1,所以2(a-1)2>0, 所以C的方程表示圆心是(a,a-1),半径是|a-1|的圆.…(6分) 由题意得圆心到直线距离d=,…(8分) ∴|a-1|=,解得a=.…(10分) (3)法一:由(2)知曲线C表示圆设圆心坐标为(x,y),则有, 消去a得y=x-1,故圆心必在直线y=x-1上. 又曲线C过定点(1,0),所以存在直线l与曲线C总相切,…(12分) 直线l过点(1,0)且与直线y=x-1垂直; ∴l方程为y=-(x-1)即y=-x+1.…(16分) 法二:假设存在直线l满足条件,显然l不垂直于x轴,设l:y=kx+b, 圆心到直线距离d=, ∴=|a-1|对所有的a∈R且a≠1都成立,…(12分) 即(k+1)2a2-2(2k2+k+kb-b+1)a+2(k+1)2-(b+1)2=0恒成立 ∴ | (k+1)2=0 | 2k2+k+kb-b+1=0 | 2(k+1)2-(b+1)2=0 |
| | ∴ ∴存在直线l:y=-(x-1)即y=-x+1与曲线C总相切.…(16分) |
举一反三
由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为______. |
过坐标原点作圆(x-)2+y2=1的切线,则切线的方程是______. |
已知A(-4,0),B(2,0)以AB为直径的圆与y轴的负半轴交于C,则过C点的圆的切线方程为 ______. |
若直线x-y+a=0与圆x2+y2=2相切,则a的值为______. |
设P是焦点为F1、F2椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,若∠F1PF2的最大值为60°,方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则过点P(x1,x2)引圆x2+y2=2的切线共有______条. |
最新试题
热门考点