过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=9交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为______.
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过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=9交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为______. |
答案
∵圆C方程为:(x-2)2+y2=9,∴圆心C的坐标为(2,0),半径r=3. ∵点M(1,2)为圆C内部一点,直线l经过点M(1,2)与圆C交于A、B两点, ∴根据圆的性质,当CM与l垂直时弦长AB最短,相应地∠ACB最小. 此时直线l的斜率与CM的斜率之积为-1. ∵kCM==-2,∴直线l的斜率k==, 由此可得直线l的方程为y-2=(x-1),化简得x-2y+3=0. 故答案为:x-2y+3=0 |
举一反三
若⊙P:(x-2)2+(y-2)2=18上恰好有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则l的倾斜角为( ) |
已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切. (1)求圆C的方程; (2)点P在直线x=8上,过P点引圆C的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB恒过定点.
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直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是( )A.直线与圆相切 | B.直线与圆相交但不过圆心 | C.直线与圆相离 | D.直线过圆心 |
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设圆(x-2)2+(y-2)2=4的切线l与两坐标轴交于点A(a,0),B(0,b),ab≠0. (1)证明:(a-4)(b-4)=8; (2)若a>4,b>4,求△AOB的面积的最小值.
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已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则C上各点到l的距离的最小值为______. |
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