已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求
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已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程． |
答案
（1）直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改写为m（2x+y-7）+x+y-4=0，所以直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点．由方程组解得即两直线的交点为A（3，1），
又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d=＜5，
所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．
（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．BD为直线l被圆所截得的最短弦长．此时，|AC|=，|BC|=5，所以|BD|=2=4．即最短弦长为4．
又直线AC的斜率kAC=-，所以直线BD的斜率为2．
此时直线方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0． |
举一反三
若直线x+y+a=0与半圆y=-有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ）| A．[1，） | B．[1，] | C．[-，1] | D．（-，1） |
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| 已知圆C的圆心坐标是（-，3），且圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，又OP⊥OQ，O是坐标原点，求圆C的方程． |
已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（Ⅰ）求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；
（Ⅱ）求恒与圆相切的直线的方程． |
| 若直线y=x+b与曲线x=有两个公共点，则实数b的取值范围为______． |
| 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为．求该圆的方程． |
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