已知圆的方程是:x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R.(Ⅰ)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点;(Ⅱ)求恒与圆相切的直线的方程
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已知圆的方程是:x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R. (Ⅰ)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点; (Ⅱ)求恒与圆相切的直线的方程. |
答案
(Ⅰ)将方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0 整理得:x2+y2-4y+2+a(2x-2y)=0. 令解之得, ∴定点为(1,1). (Ⅱ)圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为:|a-1| 显然,满足题意切线一定存在斜率, ∴可设所求切线方程为:y=kx+b,即kx-y+b=0, 则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即=|a-1|恒成立, 即2(1+k2)a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(1+k)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立, 比较系数得
| 2(1+k2)=(1+k)2 | -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) | 2(1+k2)=(b-2)2 |
| | , 解之得k=1,b=0,所以所求的直线方程为y=x. |
举一反三
若直线y=x+b与曲线x=有两个公共点,则实数b的取值范围为______. |
已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程. |
直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0交点个数是( ) |
如果直线ax+by=2与圆x2+y2=4相切,那么a+b的最大值为( ) |
已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0. (1)写出圆C的标准方程; (2)是否存在斜率为1的直线m,使m被圆C截得的弦为AB,且以AB为直径的圆过原点.若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由. |
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