已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.
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已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.
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已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为
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.求该圆的方程.
答案
设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,
则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,
知圆P截x轴所得的弦长为
2
r
.故r
2
=2b
2
又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r
2
=a
2
+1.从而得2b
2
-a
2
=1;
又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
5
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,所以
d=
|a-2b|
5
=
5
5
,即有a-2b=±1,
由此有
2
b
2
-
a
2
=1
a-2b=1
或
2
b
2
-
a
2
=1
a-2b=-1
解方程组得
a=-1
b=-1
或
a=1
b=1
,于是r
2
=2b
2
=2,
所求圆的方程是:(x+1)
2
+(y+1)
2
=2,或(x-1)
2
+(y-1)
2
=2.
举一反三
直线l:y-1=k(x-1)和圆x
2
+y
2
-2y=0交点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.个数与k的取值有关
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如果直线ax+by=2与圆x
2
+y
2
=4相切,那么a+b的最大值为( )
A.1
B.
2
2
C.2
D.
2
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已知圆C:x
2
+y
2
-2x+4y-4=0.
(1)写出圆C的标准方程;
(2)是否存在斜率为1的直线m,使m被圆C截得的弦为AB,且以AB为直径的圆过原点.若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由.
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已知直线bx+ay=ab与圆x
2
+y
2
=1相切,若a,b同号,则ab的最小值为( )
A.1
B.2
C.
2
D.不存在
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若直线y=x+m和曲线
y=
1-
x
2
有两个不同的交点,则m的取值范围是______.
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