已知曲线C是到定点M（-2，0）距离除以到定点N（0，2）的距离商为2的点的轨迹，直线l过点A（-1，2）且被曲线C截得的线段长为27，求曲线C和直线l的方程．

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已知曲线C是到定点M（-2，0）距离除以到定点N（0，2）的距离商为2的点的轨迹，直线l过点A（-1，2）且被曲线C截得的线段长为27，求曲线C和直线l的方程．

题型：不详难度：来源：
已知曲线C是到定点M（-2，0）距离除以到定点N（0，2）的距离商为


2
的点的轨迹，直线l过点A（-1，2）且被曲线C截得的线段长为2


7
，求曲线C和直线l的方程．
答案
设曲线C上任意一点的坐标为（x，y），由题意得 
|PM|
|PN|
= 


(x+2)2+y2
x2+(y-2)2
=


2
，化简可得
（x-2）2+（y-4）2=16，即为所求曲线C的方程．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=-1，代入曲线C的方程得 y=4±


7
，此时的弦长为2


7
，满足条件．
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 y-2=k（x+1），即 kx-y+k+2=0．
圆心到直线的距离 d=
|2k-4+k+2|


k2+1
=
|3k-2|


k2+1
=


r2-(
l
2
)2
=


16-7
，∴k=-
5
12
，
此时，直线l的方程为 5x+12y-19=0．
综上，曲线C的方程为  （x-2）2+（y-4）2=16，直线l的方程为  x=-1，或  5x+12y-19=0．
举一反三
设满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2（其中[x]，[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如[-0.3]=-1，[1.2]=1），给出下列结论：
①点（S1，S2）在直线y=x左上方的区域内；
②点（S1，S2）在直线x+y=7左下方的区域内；
③S1＜S2；
④S1＞S2．
其中所有正确结论的序号是______．
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若圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线
|x|
3
+
|y|
4
=1恰有六个公共点，则R的值是______．
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已知圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=25，A（3，4）为定点，过A的两条弦MN、PQ互相垂直，记四边形MPNQ面积的最大值与最小值分别为S1，S2，则
S21
-
S22
是（　　）
A．200B．100C．64D．36
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已知圆C的方程为x2+y2-10x+21=0，若直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______．
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以点（-3，4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是（　　）
A．（x-3）2+（y+4）2=16B．（x+3）2+（y-4）2=16
C．（x-3）2+（y+4）2=9D．（x+3）2+（y-4）2=9
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