设抛物线C的方程为x2=4y,M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.(1)当M的坐标为
题型:韶关一模难度:来源:
设抛物线C的方程为x2=4y,M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B. (1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程,并判断直线l与此圆的位置关系; (2)求证:直线AB恒过定点(0,m). |
答案
(1)当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0, 令△=(4k)2-4×4=0,解得k=±1, 代入方程得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),…(2分) 因为M到AB的中点(0,1)的距离为2, 从而过M,A,B三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4. ∵圆心坐标为(0,1),半径为2,∴圆与直线l:y=-1相切…(4分) (2)证法一:设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为(y-)=k(x-x1),代入x2=4y,整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0△=(4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又因为x12=4y1,所以k=…(6分) 从而过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为y-=(x-x1)即y=x- 又切线过点M(x0,y0),所以得y0=x0-①即y0=x0-y1…(8分) 同理可得过点B(x2,y2)的切线为y=x-, 又切线过点M(x0,y0),所以得y0=x0-②…(10分) 即y0=x0-y2…(6分) 即点A(x1,y1),B(x2,y2)均满足y0=x0-y即x0x=2(y0+y),故直线AB的方程为x0x=2(y0+y)…(12分) 又M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x0x=2(y-m)对任意x0成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分) 证法二:设过M(x0,y0)的抛物线的切线方程为y-=k(x-x0)(k≠0),代入x2=4y,消去y,得x2-4kx-4(y0-kx0)=0△=(4k)2+4×4(y0-kx0)=0即:k2+x0k+y0=0…(6分) 从而k1=,k2=此时x1=,x2= 所以切点A,B的坐标分别为A(,),B(,)…(8分) 因为kAB===,===x0,===, 所以AB的中点坐标为(x0,)…(11分) 故直线AB的方程为y-=(x-x0),即x0x=2(y0+y)…(12分) 又M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x0x=2(y-m)对任意x0成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分) 证法三:由已知得y=,求导得y=,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),故过点A(x1,y1)的切线斜率为k=,从而切线方程为(y-)=(x-x1)即y=x- …(7分) 又切线过点M(x0,y0),所以得y0=x0-①即y0=x0-y1…(8分) 同理可得过点B(x2,y2)的切线为y=x-, 又切线过点M(x0,y0),所以得y0=x0-②即y0=x0-y2…(10分) 即点A(x1,y1),B(x2,y2)均满足y0=x0-y即x0x=2(y0+y),故直线AB的方程为x0x=2(y0+y)…(12分) 又M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x0x=2(y-m)对任意x0成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分) |
举一反三
一动圆圆心在抛物线x2=-8y上,且动圆恒与直线y-2=0相切,则动圆必过定点( )A.(4,0) | B.(0,-2) | C.(2,0) | D.(0,-4) |
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从抛物线x2=2y上任意一点M向圆C:x2+(y-2)2=1作切线MT,则切线长|MT|的最小值为( ) |
圆(x-a)2+y2=1与直线y=x相切于第三象限,则a的值是( ) |
已知:椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,左右焦点为F1,F2,直线AF2与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切 (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆C的下顶点为B,直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M,N,当|BM|=|BN|时,求实数m的取值范围. |
选修4-4:极坐标与参数方程选讲 已知:曲线C的极坐标方程为:ρ=acosθ(a>0),直线ℓ的参数方程为:(t为参数) (1)求曲线C与直线ℓ的普通方程; (2)若直线ℓ与曲线C相切,求a值. |
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