椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=32,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若P(m,n
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椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=32,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若P(m,n
题型:不详
难度:
来源:
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
3
2
,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆C上一动点,直线L:mx+4ny-4=0与圆C′:x
2
+y
2
=4相交于A、B两点,求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程.
答案
(1)由椭圆定义知2a=4,
∴a=2,又e=
c
a
=
a
2
-b
2
a
=
3
2
得b=1,
∴所求椭圆方程为
x
2
4
+y
2
=1.
(2)设圆心O到直线L的距离为d,则d=
4
m
2
+(4n)
2
,又有
m
2
4
+n
2
=1,
所以d=
4
m
2
+(4n)
2
=
4
4+1
2n
2
,又n∈(0,1],
∴d∈[1,2),
S
△OAB
=
1
2
|AB|•d=
4
-d
2
•d=
d
2
(4
-d
2
)
≤
(
d
2
+4
-d
2
2
)
2
=2(当d
2
=4-d
2
即d=
2
时S
△OAB
最大),
∴S
△OAB
最大值为2,
d=
2
⇒
4
4+1
2n
2
=
2
,n>0,
∴n=
3
3
,
m
2
=4-4n
2
=
8
3
,又m>0,
∴m=
2
6
3
.
所以直线L的方程为
2
6
3
x+
4
3
3
y-12=0,即x+
2
y-3
6
=0.
举一反三
已知离心率为
2
2
的椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点M(
6
,1,O是坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A、B为椭圆C上相异两点,且
OA
⊥
OB
,判定直线AB与圆O:x
2
+y
2
=
8
3
的位置关系,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知直线l:y=x+1和圆C:
x
2
+
y
2
=
1
2
,则直线l与圆C的位置关系为______.
题型:不详
难度:
|
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过点(1,1)的直线l与圆x
2
+y
2
=4交于A,B两点,若
|AB|=2
2
,则直线l的方程为( )
A.x+y-2=0
B.x-2y+1=0
C.2x-y-1=0
D.x-y-1=0
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知曲线C是动点M到两个定点O(0,0)、A(3,0)距离之比为
1
2
的点的轨迹.
(1)求曲线C的方程;
(2)求过点N(1,3)与曲线C相切的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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圆x
2
+y
2
-2x+4y-4=0与直线2tx-y-2-t=0(x∈R)的位置关系( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.以上都有可能
题型:广东模拟
难度:
|
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