已知圆M:x2+(y-2)2=1,设点B,C是直线l:x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4(t∈R),点P在线段BC上,过P点作圆M的切线PA,切

已知圆M:x2+(y-2)2=1,设点B,C是直线l:x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4(t∈R),点P在线段BC上,过P点作圆M的切线PA,切

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已知圆M:x2+(y-2)2=1,设点B,C是直线l:x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4(t∈R),点P在线段BC上,过P点作圆M的切线PA,切点为A.
(1)若t=0,MP=


5
,求直线PA的方程;
(2)经过A,P,M三点的圆的圆心是D,求线段DO长的最小值L(t).
答案
(1)由圆M:x2+(y-2)2=1,得到圆心M(0,2),半径r=1,
设P(2a,a)(0≤a≤2).
M(0,2),MP=


5
,∴


(2a)2+(a-2)2
=


5

解得a=1或a=-
1
5
(舍去).
∴P(2,1).由题意知切线PA的斜率存在,设斜率为k.
所以直线PA的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.
∵直线PA与圆M相切,
|-2-2k+1|


1+k2
=1

解得k=0或k=-
4
3

∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0;
(2)设f(a)min=f(
t
2
+2)=
5
4
(
t
2
+2)2+(
t
2
+2)+1=
15
16
t2+3t+8

∵PA与圆M相切于点A,∴PA⊥MA.
∴经过A,P,M三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
∵M(0,2),∴D的坐标是(a,
a
2
+1)

设DO2=f(a).
f(a)=a2+(
a
2
+1)2=
5
4
a2+a+1=
5
4
(a+
2
5
)2+
4
5

t
2
>-
2
5
,即t>-
4
5
时,f(a)min=f(
t
2
)=
5
16
t2+
t
2
+1

t
2
≤-
2
5
t
2
+2
,即-
24
5
≤t≤-
4
5
时,f(a)min=f(-
2
5
)=
4
5

t
2
+2<-
2
5
,即t<-
24
5
时,f(a)min=f(
t
2
+2)=
5
4
(
t
2
+2)2+(
t
2
+2)+1=
15
16
t2+3t+8

L(t)=





1
4


5t2+8t+16
,t>-
4
5
2


5
5
,-
24
5
≤t≤-
4
5
1
4


5t2+48t+128
,t<-
24
5
举一反三
圆C:x2+y2-4x-5=0,直线l:kx-y+1=0.
(1)求证:不论实数k取什么值,直线l与圆C恒有两个不同交点;
(2)当k=2时,直线l与圆C相交于A,B两点,求A,B两点间的距离;
(3)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,以及此时直线l的方程.
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如果直线x-y-1=0被圆心坐标为(2,-1)的圆所截得的弦长为2


2
,那么这个圆的方程为(  )
A.(x-2)2+(y+1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=16
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已知圆M与圆C:x2+y2-2x+4y+1=0同圆心,且与直线2x-y+1=0相切,则圆M的方程为 ______.
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已知直线4x+3y-12=0截圆心在点C(1,1)的圆C所得弦长为2


3

(1)求圆C的方程;
(2)求过点(-1,2)的圆C的切线方程.
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圆(x-3)2+(y-2)2=1上一点到直线3x+4y-2=0的距离的最小值为______.
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