圆C:x2+y2-4x-5=0,直线l:kx-y+1=0.(1)求证:不论实数k取什么值,直线l与圆C恒有两个不同交点;(2)当k=2时,直线l与圆C相交于A,

圆C:x2+y2-4x-5=0,直线l:kx-y+1=0.(1)求证:不论实数k取什么值,直线l与圆C恒有两个不同交点;(2)当k=2时,直线l与圆C相交于A,

题型:不详难度:来源:
圆C:x2+y2-4x-5=0,直线l:kx-y+1=0.
(1)求证:不论实数k取什么值,直线l与圆C恒有两个不同交点;
(2)当k=2时,直线l与圆C相交于A,B两点,求A,B两点间的距离;
(3)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,以及此时直线l的方程.
答案
(1)联立方程,消去y得(1+k2)x2+(2k-4)x-4=0,
△=(2k-4)2+16(1+k2)>0恒成立所以直线l与圆C恒有两个不同交点;
(2)把圆C的方程化为标准方程得:(x-2)2+y2=9,
∴圆心C坐标为(2,0),半径r=3,又k=2,所以直线l:2x-y+1=0,
圆心C到直线l的距离d=
|5|


5
=


5

根据勾股定理得:AB=2


32(


5
)
2
=4;
(3)直线恒过圆内定点H(0,1),
当l⊥CH时,圆心到直线距离d最大,
在直角三角形OCH中,根据勾股定理得:d=


12+22
=


5

线段的最小长度AB=2


32-(


5
)
2
=4,
∵kCH=
1-0
0-2
=-
1
2
,∴kl=2,
则直线l方程为2x-y+1=0.
举一反三
如果直线x-y-1=0被圆心坐标为(2,-1)的圆所截得的弦长为2


2
,那么这个圆的方程为(  )
A.(x-2)2+(y+1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=16
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已知圆M与圆C:x2+y2-2x+4y+1=0同圆心,且与直线2x-y+1=0相切,则圆M的方程为 ______.
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已知直线4x+3y-12=0截圆心在点C(1,1)的圆C所得弦长为2


3

(1)求圆C的方程;
(2)求过点(-1,2)的圆C的切线方程.
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圆(x-3)2+(y-2)2=1上一点到直线3x+4y-2=0的距离的最小值为______.
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过点(-3,4)且与圆(x-1)2+(y-1)2=25相切的直线方程为______.
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