已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）2+（y+6）2=25．（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；（2）求直线l被圆C截得的线段的
题型：不详难度：来源：
已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）2+（y+6）2=25．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程． |
答案
（1）证明：∵2mx-y-8m-3=0，
∴（2x-8）m-（y+3）=0，
∴，解得，
∴直线l恒过（4，-3），
∵点（4，-3）到圆心（3，-6）的距离d==＜r=5，
故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．
（2）由（1）可知0≤d≤，即d的最大值为．
根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短．
∴当d=时，
线段（即弦长）的最短长度为
2=2．（9分）
将d=代入①可得m=-，
代入直线l的方程，
得直线被圆C截得最短线段时l的方程为x+3y+5=0．（12分） |
举一反三
| 过点（1，1）的直线与圆（x-2）2+（y-3）2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ） |
| 已知圆x2+y2=25上的两个定点A（0，5），B（3，4）和一个动点D．求以AB、AD为两邻边的平行四边形ABCD的顶点C的轨迹方程． |
已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2+y2=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积． |
关于曲线C：（x-m）2+（y-2m）2=，有以下五个结论：
（1）当m=1时，曲线C表示圆心为（1，2），半径为|n|的圆；
（2）当m=0，n=2时，过点（3，3）向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB方程为3x+3y-2=0；
（3）当m=1，n=时，过点（2，0）向曲线C作切线，则切线方程为y=-（x-2）；
（4）当n=m≠0时，曲线C表示圆心在直线y=2x上的圆系，且这些圆的公切线方程为y=x或y=7x；
（5）当n=4，m=0时，直线kx-y+1-2k=0（k∈R）与曲线C表示的圆相离．
以上正确结论的序号为______． |
| 实数m≠n且m2sinθ-mcosθ+=0，n2sinθ-ncosθ+=0，则连接（m，m2），（n，n2）两点的直线与圆心在原点上的单位圆的位置关系是（ ） |
最新试题
热门考点