①过点A(0,1)斜率为k的直线l的方程为:y=kx+1, 当直线l与圆相切时,圆心(2,3)到直线l的距离d==r=1,化简得3k2-8k+3=0,解得:k=, 因为直线l与圆相交于M,N两点,所以实数k的取值范围为:<k<; ②把直线方程与圆方程联立得,消去y得到(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1和x2为(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0的两个根, 则MN中点横坐标x==,同理消去x得到关于y的一元二次方程(1+k2)y2-(2+4k+6k2)y+12k2+4k+1=0, 得到纵坐标y==, 则线段MN的中点轨迹方程为:; ③=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以•=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2=7为常数. ④•=x1x2+y1y2=+=12,即12k2+4k+8=12(1+k2),解得k=1. |