选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．（I）试判断直线AB与⊙O的位置关

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选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．
（I）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）若tanE=

1

2

，⊙O的半径为3，求OA的长．

答案

（I）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∴OC⊥AB．
∴AB是圆O的切线；（3分）
（II）由ED为圆O的直径，得到∠ECD=90°，
在直角三角形中，
根据三角函数定义得：tanE=

CD

EC

=

1

2

．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
设BD=x，则BC=2x．（6分）又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x（x+6）．（8分）
解得x₁=0，x₂=2．
由BD=x＞0，∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．（12分）