已知圆C：x2+(y-1)2=5，直线l：mx-y+1-m=0。（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB

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已知圆C：x²+(y-1)²=5，直线l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线l的方程。

答案

（Ⅰ）证明：圆的圆心为C（0，1），半径为，
∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离，
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点。

（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
∴，
设，则，
化简得：，
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式；
故弦AB中点的轨迹方程是。 （Ⅲ）解：设，由，得，
∴，化简得，①
又由消去y得，，（*）
∴，   ②
由①②解得：，
带入（*）式解得：m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0。