(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知圆和圆.(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2)在平面内是否存在一点,使得过点有无穷多对互相垂直

(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知圆和圆.(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2)在平面内是否存在一点,使得过点有无穷多对互相垂直

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)在平面内是否存在一点,使得过点有无穷多对互相垂直的直线,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等?若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
 
答案
(1)若直线的斜率不存在,则过点的直线为,此时圆心到直线的距离为被圆截得的弦长为,符合题意,所以直线为所求.                                            …………2分
若直线的斜率存在,可设直线的方程为,即
所以圆心到直线的距离.       …………3分
又直线被圆截得的弦长为,圆的半径为4,所以圆心到直线的距离应为,即有
,解得:.                             …………4分
因此,所求直线的方程为
.                             …………5分
(2) 设点坐标为,直线的斜率为(不妨设,则的方程分别为:

.               …………6分
因为直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等,又已知圆的半径是圆的半径的倍.由垂径定理得:圆心到直线的距离的倍与直线的距离相等.w   .m                            …………7分
故有,               …………10分
化简得:
即有.
…………11分
由于关于的方程有无穷多解,所以有
,                        …………12分
解之得:
,                                    …………13分
所以所有满足条件的点坐标为.          …………14分
解析
略       
举一反三
>0,两圆可能(   )
A.相离B.相交C.内切或内含或相交D.外切或外离

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(4-1几何证明选讲)(本小题10分)
如图圆O和圆相交于A,B两点,AC是圆的切线,AD
是圆O的切线,若BC=2,AB=4,求BD.
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两圆的位置关系是
A.相离B.相切C.相交D.内含

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(12分)已知圆
为何值时,
(1)  圆与圆相切;
(2)  圆与圆内含。
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(本小题满分9分)如图,已知⊙与⊙
切于点是两圆的外公切线,为切
点, 的延长线相交于点,延长
交⊙于 点,点延长线上.
(1)求证:是直角三角形;
(2)若,试判断能否一定垂直?并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若,求的值.

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