如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,1),离心率e=32.(l)求椭圆C的方程;(2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关
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如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,1),离心率e=32.(l)求椭圆C的方程;(2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关
题型:不详
难度:
来源:
如图,椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
经过点(0,1),离心率
e=
3
2
.
(l)求椭圆C的方程;
(2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合),则直线A′B与x轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
答案
(1)依题意可得
b=1
c
a
=
3
2
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得a=2,b=1.
所以,椭圆C的方程是
x
2
4
+
y
2
=1
;
(2)由
x
2
4
+
y
2
=1
x=my+1
得(my+1)
2
+4y
2
=4,即(m
2
+4)y
2
+2my-3=0,
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则A′(x
1
,-y
1
).
且
y
1
+
y
2
=-
2m
m
2
+4
,
y
1
y
2
=-
3
m
2
+4
.
经过点A′(x
1
,-y
1
),
B(x
2
,y
2
)的直线方程为
y+
y
1
y
2
+
y
1
=
x-
x
1
x
2
-
x
1
.
令y=0,则
x=
x
2
-
x
1
y
2
+
y
1
y
1
+
x
1
=
(
x
2
-
x
1
)
y
1
+
x
1
(
y
1
+
y
2
)
y
1
+
y
2
=
x
2
y
1
+
x
1
y
2
y
1
+
y
2
又∵x
1
=my
1
+1,x
2
=my
2
+1.∴当y=0时,
x=
(m
y
2
+1)
y
1
+(m
y
1
+1)
y
2
y
1
+
y
2
=
2m
y
1
y
2
+(
y
1
+
y
2
)
y
1
+
y
2
=
-
6m
m
2
+4
-
2m
m
2
+4
-
2m
m
2
+4
=4
这说明,直线A′B与x轴交于定点(4,0).
举一反三
焦点坐标是(-2,0)、(2,0),且短轴长为
2
的椭圆方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,F
1
,F
2
是离心率为
2
2
的椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,直线l:x=-
1
2
将线段F
1
F
2
分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
F
2
P
•
F
2
Q
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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平面内已知两点A(0,2)、B(0,-2),若动点P满足|PA|+|PB|=4,则点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.线段
题型:不详
难度:
|
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曲线
与曲线
(k>-16)的( )
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
题型:不详
难度:
|
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如果椭圆的两焦点为F
1
(-1,0)和F
2
(1,0),P是椭圆上的一点,且|PF
1
|,|F
1
F
2
|,|PF
2
|成等差数列,那么椭圆的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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