已知圆P：x2+y2-2y-3=0，抛物线C以圆心P为焦点，以坐标原点为顶点．（1）求抛物线C的方程；（2）设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，过A作抛物线C

题型：不详难度：来源：

已知圆P：x²+y²-2y-3=0，抛物线C以圆心P为焦点，以坐标原点为顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q，动点M到P、Q两点距离之和等于6，求M的轨迹方程．

答案

（1）圆x²+y²-2y-3=0化为标准方程：x²+（y-1）²=4
∴圆的圆心P（0，1）…（1分），
设抛物线C：x²=2py…（2分），
∵抛物线C以圆心P为焦点，
∴

=1…（3分），
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x²=4y…（4分）．
（2）由方程组

x2+y2-2y-3=0

x2=4y

可得y=1…（5分），
依题意，圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，∴A（2，1）…（6分），
抛物线C即函数y=

x2的图象，当x=2时，切线的斜率k=y′=

x=1…（8分），
∴切线为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），
∴x=0时，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，
设它的方程为

=1(a＞b＞0)…（12分），
则2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），
∴a=3，b²=a²-c²=8，
∴M的轨迹方程为

=1…（14分）．

举一反三

设F₁，F₂分别是椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，

)到F₁，F₂两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(

，0)，求k的取值范围．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，且曲线过点(1，

)
（1）求椭圆C的方程．（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=

内，求m的取值范围．

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椭圆方程为

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=

．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆相交于不同的两点M，N且P（2，1）为MN中点，求直线l的方程．

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已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），左、右顶点分别A、B，其中B点的坐标为（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过F的直线交C于M、N，记△AMB、△ANB的面积分别为S₁、S₂，求

的取值范围．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点（

，

），一个焦点是F（0，-

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

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