已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,直线l:x=2与x轴相交于点E,FE=OF,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且AD

已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,直线l:x=2与x轴相交于点E,FE=OF,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且AD

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,直线l:x=2与x轴相交于点E,


FE
=


OF
,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且ADBCx轴.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)求证:直线AC经过线段EF的中点.
答案
(I)设椭圆方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由2b=2得b=1.


FE
=


OF
,∴





a2-c2=1
c=
a2
c
-c.
解得 a=


2
,c=1

∴椭圆方程为:
x2
2
+y2=1

离心率 e=
c
a
=


2
2

(II)∵点F(1,0),E(2,0),∴EF中点N的坐标为 (
3
2
,0)

①当AB⊥x轴时,A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1),
那么此时AC的中点为 (
3
2
,0)
,即AC经过线段EF的中点N.
2当AB不垂直x轴时,则直线AB斜率存在,
设直线AB的方程为y=k(x-1),
由(*)式得 x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2

又∵x12=2-2y12<2,得 x1-
3
2
≠0

故直线AN,CN的斜率分别为 k1=
y1
x1-
3
2
=
2k(x1-1)
2x1-3
k2=
y2
2-
3
2
=2k(x2-1)

k1-k2=2k•
(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)
2x1-3

又∵(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)=3(x1+x2)-2x1x2-4,
=
1
1+2k2
[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0

∴k1-k2=0,即k1=k2
且AN,CN有公共点N,∴A,C,N三点共线.
∴直线AC经过线段EF的中点N.
综上所述,直线AC经过线段EF的中点.
举一反三
已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆上一点P(1,
3
2
)
到F1,F2两点距离之和等于4.
(Ⅰ)求此椭圆方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
,0)
,求k的取值范围.
题型:攀枝花三模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,且曲线过点(1,


2
2
)

(1)求椭圆C的方程.(2)已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点不在圆x2+y2=
5
9
内,求m的取值范围.
题型:怀柔区二模难度:| 查看答案
椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),离心率e=


6
3
. 
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆相交于不同的两点M,N且P(2,1)为MN中点,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的右焦点为F(1,0),左、右顶点分别A、B,其中B点的坐标为(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过F的直线交C于M、N,记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2,求
S1
S2
的取值范围.
题型:贵州模拟难度:| 查看答案
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