设椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的两个焦点是F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)

设椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的两个焦点是F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)

题型:焦作二模难度:来源:
设椭圆C:
x2
a2
+y2=1
(a>0)的两个焦点是F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)若椭圆上的点到焦点的最短距离为


3
-


2
,求椭圆的方程;
(Ⅲ)对(2)中的椭圆C,直线l:y=kx+m(k≠0)与C交于不同的两点M、N,若线段MN的垂直平分线恒过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由已知,a>1,
∴方程组





x2
a2
+y2=1
x2+y2=c2
有实数解,从而(1-
1
a2
)x2=c2-1≥0

故c2≥1,所以a2≥2,即a的取值范围是[


2
,+∞)

(Ⅱ)设椭圆上的点P(x,y)到一个焦点F2(c,0)的距离为d,
d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-
x2
a2
=
c2
a2
x2-2cx+c2+1

=
c2
a2
(x-
a2
c
)2
(-a≤x≤a).
a2
c
>a

∴当x=a时,dmin=a-c,
(可以直接用结论)
于是,





a-c=


3
-


2
a2-c2=1

解得





a=


3
c=


2

∴所求椭圆方程为
x2
3
+y2=1

(Ⅲ)由





y=kx+m
x2+3y2=3

得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0(*)
∵直线l与椭圆交于不同两点,
∴△>0,即m2<3k2+1.①
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两个实数解,
x1+x2=-
6mk
3k2+1

∴线段MN的中点为Q(-
3mk
3k2+1
m
3k2+1
)

又∵线段MN的垂直平分线恒过点A(0,-1),
∴AQ⊥MN,
-
m+3k2+1
3mk
=-
1
k
,即2m=3k2+1(k≠0)②
由①,②得m2<2m,0<m<2,又由②得m>
1
2

∴实数m的取值范围是(
1
2
,2)
举一反三
已知椭圆过点P(-3,


7
2
),Q(2,


3
).
(1)求椭圆的方程;
(2)若A(0,4),B是椭圆上的任一点,求|AB|的最大值及此时B的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线C上任一点到点E(-4,0),F(4,0)的距离的和为12,C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点,点P在C上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)求点P的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为2


13
,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3,求椭圆和双曲线的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的中心在坐标原点,两个顶点在直线x+2y-4=0上,F1是椭圆的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点P是椭圆上的一个动点,求线段PF1的中点M的轨迹方程;
(3)若直线l:y=x+m与椭圆交于点A,B两点,求△ABO面积S的最大值及此时直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴长为4,F1,F2分别为其左、右焦点,抛物线y2=-4x的焦点为F1
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过焦点F1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△F2PQ面积的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
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