曲线C上任一点到点E(-4,0),F(4,0)的距离的和为12,C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点,点P在C上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(Ⅰ)求曲线
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曲线C上任一点到点E(-4,0),F(4,0)的距离的和为12,C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点,点P在C上,且位于x轴上方,PA⊥PF. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)求点P的坐标. |
答案
(I)设G是曲线C上任意一点,依题意,|GE|+|GF|=12. 所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆,且椭圆的长半袖a=6,半焦距c=4, 所以短半轴b==, 所以所求的椭圆方程为 +=1; (II)设点P的坐标为(x,y) 则 =(x+6,y),=(x-4,y),由已知得 则 2x2+9x-18=0,解之得x=-6或x= 当x=-6时,y=0,与y>0矛盾,舍去; 当x=时,y2=,取y=(舍负) ∴P(,). |
举一反三
一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为2,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3,求椭圆和双曲线的方程. |
已知椭圆的中心在坐标原点,两个顶点在直线x+2y-4=0上,F1是椭圆的左焦点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设点P是椭圆上的一个动点,求线段PF1的中点M的轨迹方程; (3)若直线l:y=x+m与椭圆交于点A,B两点,求△ABO面积S的最大值及此时直线l的方程. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,F1,F2分别为其左、右焦点,抛物线y2=-4x的焦点为F1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过焦点F1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△F2PQ面积的最大值. |
已知椭圆的两个焦点是(-3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,则椭圆的标准方程是( )A. | B. | C. | D. | 已知椭圆+=1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为-1,短轴长为2. (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为,求直线AB的方程. |
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