(文科)设A、B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点,并且|AB|=20,满足OP=OA+OB.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若点D的坐标为
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(文科)设A、B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点,并且|AB|=20,满足OP=OA+OB.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若点D的坐标为
题型:不详
难度:
来源:
(文科)设A、B分别是直线
y=
2
5
5
x
和
y=-
2
5
5
x
上的两个动点,并且
|
AB
|=
20
,满足
OP
=
OA
+
OB
.(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且
DM
=λ
DN
(λ≠1),求实数λ的取值范围.
答案
(1)设P(x,y),
由题可令
A(
x
1
,
2
5
5
x
1
)
,
B(
x
2
,-
2
5
5
x
2
)
,
∵
OP
=
OA
+
OB
,
∴
x=
x
1
+
x
2
y=
2
5
5
(
x
1
-
x
2
).
即
x
1
+
x
2
=x
x
1
-
x
2
=
5
2
y.
又∵
|
AB
|=
20
,
∴
(
x
1
-
x
2
)
2
+
4
5
(
x
1
+
x
2
)
2
=20
,即有
5
4
y
2
+
4
5
x
2
=20
.
∴轨迹C的方程为
x
2
25
+
y
2
16
=1
(2)设N(s,t),M(x,y),
则由
DM
=λ
DN
可得,(x,y-16)=λ(s,t-16),故x=λs,y=16+λ(t-16),
∵N、M在曲线C上,
∴
s
2
25
+
t
2
16
=1
λ
2
s
2
25
+
(λt-16λ+16)
2
16
=1
消去s得,
λ
2
(16-
t
2
)
16
+
(λt-16λ+16)
2
16
=1
.
∵λ≠0且λ≠1,
∴
t=
17λ-15
2λ
又∵|t|≤4,
∴
|
17λ-15
2λ
|≤4
,解得
3
5
≤λ≤
5
3
(λ≠1)
故实数λ的取值范围为
3
5
≤λ≤
5
3
(λ≠1).
举一反三
已知椭圆的中心在原点,左焦点为F(-
3
,0
),右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,过P点向椭圆的长轴做垂线,垂足为Q求线段PQ的中点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
的焦点在x轴上,过点(1,
)作圆x
2
+y
2
=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-
3
,0),且过D(2,0),设点A(1,
1
2
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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焦点为(0,4)和(0,-4),且过点
(
5
,-3
3
)
的椭圆方程是______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
9
+
y
2
25
=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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