如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点,且满足.(1)求椭圆的方程以及点的坐标;(2)过点作轴的垂线,再
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如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点,且满足.(1)求椭圆的方程以及点的坐标;(2)过点作轴的垂线,再
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知椭圆
的离心率是
,
分别是椭圆
的左、右两个顶点,点
是椭圆
的右焦点。点
是
轴上位于
右侧的一点,且满足
.
(1)求椭圆
的方程以及点
的坐标;
(2)过点
作
轴的垂线
,再作直线
与椭圆
有且仅有一个公共点
,直线
交直线
于点
.求证:以线段
为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
答案
(1)
;(2)定点坐标为
,证明见详解.
解析
试题分析:(1)设
,然后利用
建立关于
的方程,然后利用
得到
的方程,两方程结合消去
可得到
的关系,再由条件中的离心率得到
的关系,进行通过解方程组可求得
的值,进行可求得椭圆的方程,以及点
的坐标;(2)设
.将直线代入椭圆方程消去
的得到
的二次方程,利用韦达定理可利用
表示点
的坐标.又设以线段
为直径的圆上任意一点
,然后利用
可求得圆的方程,再令
,取
时满足上式,故过定点
.
试题解析:(1)
,设
,
由
有
,
又
,
,
于是
,
又
,
,
又
,
,椭圆
,且
.
(2)
,设
,由
,
由于
(*),
而由韦达定理:
,
,
,
设以线段
为直径的圆上任意一点
,
由
有
,
由对称性知定点在
轴上,令
,取
时满足上式,故过定点
.
举一反三
在
中,
,给出
满足的条件,就能得到动点
的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:
条件
方程
①
周长为10
②
面积为10
③
中,
则满足条件①、②、③的点
轨迹方程按顺序分别是
A.
、
、
B.
、
、
C.
、
、
D.
、
、
题型:不详
难度:
|
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已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若
是第一象限内该椭圆上的一点,
,求点
的坐标;
(2)设过定点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,且
为锐角(其
中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
,直线
与圆
相切,且交椭圆
于
两点,c是椭圆的半焦距,
.
(1)求m的值;
(2)O为坐标原点,若
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,设椭圆
的左右顶点分别为A,B,动点
,直线
与直线
分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在坐标原点
O
的椭圆
C
经过点
A
(2,3),且点
F
(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)是否存在平行于
OA
的直线
l
,使得直线
l
与椭圆
C
有公共点,且直线
OA
与
l
的距离等于4?若存在,求出直线
l
的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率为
,一条准线
l
:
x
=2.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)设
O
为坐标原点,
M
是
l
上的点,
F
为椭圆
C
的右焦点,过点
F
作
OM
的垂线与以
OM
为直径的圆
D
交于
P
,
Q
两点.
①若
PQ
=
,求圆
D
的方程;
②若
M
是
l
上的动点,求证点
P
在定圆上,并求该定圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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