已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,一条准线l:x=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与
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已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,一条准线l:x=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率为
,一条准线
l
:
x
=2.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)设
O
为坐标原点,
M
是
l
上的点,
F
为椭圆
C
的右焦点,过点
F
作
OM
的垂线与以
OM
为直径的圆
D
交于
P
,
Q
两点.
①若
PQ
=
,求圆
D
的方程;
②若
M
是
l
上的动点,求证点
P
在定圆上,并求该定圆的方程.
答案
(1)
+
y
2
=1 (2)①(
x
-1)
2
+(
y
-1)
2
=2或(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2②点
P
在定圆
x
2
+
y
2
=2上
解析
(1)由题设:
,∴
,∴
b
2
=
a
2
-
c
2
=1,
∴椭圆
C
的方程为:
+
y
2
=1.
(2)①由(1)知:
F
(1,0),设
M
(2,
t
),
则圆
D
的方程:(
x
-1)
2
+
2
=1+
,
直线
PQ
的方程:2
x
+
ty
-2=0,
∵
PQ
=
,∴2
=
,
∴
t
2
=4,∴
t
=±2.
∴圆
D
的方程:(
x
-1)
2
+(
y
-1)
2
=2或(
x
-1)
2
+(
y
+1)
2
=2.
②设
P
(
x
0
,
y
0
),
由①知:
,
即:
,
消去
t
得:
=2,
∴点
P
在定圆
x
2
+
y
2
=2上
举一反三
已知直线
l
:
y
=
x
+
,圆
O
:
x
2
+
y
2
=5,椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0)的离心率
e
=
,直线
l
被圆
O
截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)过圆
O
上任意一点
P
作椭圆
E
的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两条切线的斜率之积为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,点A在椭圆C上,
·
=0,3|
|·|
|=-5
·
,|
|=2,过点F
2
且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)线段OF
2
(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0),使得
·
=
·
?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
为椭圆
的左右焦点,
是坐标原点,过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
,设
.
(1)证明:
成等比数列;
(2)若
的坐标为
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的椭圆中,过
的直线
与椭圆
交于
、
两点,若
,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
的右焦点为
,直线
与
轴交于点
,若
(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是椭圆
上的任意一点,
为圆
的任意一条直径(
、
为直径的两个端点),求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
的左焦点为
,右焦点为
,过
的直线交椭圆于
两点,
的周长为8,且
面积最大时,
为正三角形.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设动直线
与椭圆
有且只有一个公共点
,且与直线
相交于点
,证明:点
在以
为直径的圆上.
题型:不详
难度:
|
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