中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为10-5，则椭圆的标准方程为______．

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中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为

，则椭圆的标准方程为______．

答案

设椭圆的标准方程为

=1（a＞b＞0），
∵该椭圆的一个焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为

，
∴a-c=

①，
又一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，
∴a=

c②，
由①②可得a=

，c=

，
∴b²=a²-c²=5，
∴所求椭圆的标准方程为：

=1．
故答案为：

=1．

举一反三

已知直线l：x-

y+4=0，一个圆的圆心E在x轴正半轴
上，且该圆与直线l和直线x=-2轴均相切．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）设P（1，1），过P作圆E的两条互相垂直的弦AB、CD，求AC中点M的轨迹方程．

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已知椭圆

=1，(a＞b＞0)的离心率为

，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为

的直线与椭圆交于不同的两点A、B．
（ I）求椭圆方程；
（ II）求△PAB面积的最大值．

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已知椭圆方程

=1(a＞b＞0)，其中a=b2，离心率e=

．
（I）求椭圆方程；
（II）若椭圆上动点P（x，y）到定点A（m，0）（m＞0）的距离|AP|的最小值为1，求实数m的值．

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已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定植．

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已知椭圆C的长轴长为2

，一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
②若直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

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