已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+3x-3y-6=0过A,F2两点.(1)求椭圆E的
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已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+3x-3y-6=0过A,F2两点.(1)求椭圆E的
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点为A,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,且圆C:
x
2
+
y
2
+
3
x-3y-6=0
过A,F
2
两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线PF
2
的倾斜角为α,直线PF
1
的倾斜角为β,当β-α=
2π
3
时,证明:点P在一定圆上.
(3)直线BC过坐标原点,与椭圆E相交于B,C,点Q为椭圆E上的一点,若直线QB,QC的斜率k
QB
,k
QC
存在且不为0,求证:k
QB
•k
QC
为定植.
答案
(1)∵圆
x
2
+
y
2
+
3
x-3y-6=0
与x轴交点坐标为
A(-2
3
,0)
,
F
2
(
3
,0)
,
∴
a=2
3
,c=
3
,∴b=3,
∴椭圆方程是:
x
2
12
+
y
2
9
=1
.…(4分)
(2)证明:设点P(x,y),因为F
1
(-
3
,0),F
2
(
3
,0),
所以
k
P
F
1
=tanβ=
y
x+
3
,
k
P
F
2
=tanα=
y
x-
3
,
因为β-α=
2π
3
,所以tan(β-α)=-
3
.
因为tan(β-α)=
tanβ-tanα
1+tanαtanβ
=
-2
3
y
x
2
+
y
2
-3
,所以
-2
3
y
x
2
+
y
2
-3
=-
3
,
化简得x
2
+y
2
-2y=3,所以点P在定圆x
2
+y
2
-2y=3上.…(10分)
(3)证明:设B(m,n),Q(x′,y′),则C(-m,-n)
∴k
QB
•k
QC
=
n-y′
m-x′
•
-n-y′
-m-x′
=
n
2
-y
′
2
m
2
-x
′
2
∵
m
2
12
+
n
2
9
=1
,
x′
2
12
+
y′
2
9
=1
∴两式相减可得
m
2
-x
′
2
12
+
n
2
-y
′
2
9
=0
∴
n
2
-y
′
2
m
2
-x
′
2
=
-
3
4
∴k
QB
•k
QC
=
-
3
4
…(12分)
举一反三
已知椭圆C的长轴长为
2
2
,一个焦点的坐标为(1,0).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l:y=kx与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆的右顶点.
①若直线l斜率k=1,求△ABP的面积;
②若直线AP,BP的斜率分别为k
1
,k
2
,求证:k
1
•k
2
为定值.
题型:丰台区二模
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F
1
(-3,0),右准线方程为
x=
25
3
.
(1)求椭圆的标准方程和离心率e;
(2)设P为椭圆上第一象限的点,F
2
为右焦点,若△PF
1
F
2
为直角三角形,求△PF
1
F
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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过点(3,-2)且与椭圆4x
2
+9y
2
-36=0有相同焦点的椭圆方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y
2
=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点
S (0, -
1
2
)
且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点,求|MN|的值.
题型:不详
难度:
|
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选修4-4:坐标系与参数方程
椭圆中心在原点,焦点在x轴上.离心率为
1
2
,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,若
2x+
3
y
的最大值为10,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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