已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=253.(1)求椭圆的标准方程和离心率e;(2)设P为椭圆上第一象限的点,F2为

已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=253.(1)求椭圆的标准方程和离心率e;(2)设P为椭圆上第一象限的点,F2为

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已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=
25
3

(1)求椭圆的标准方程和离心率e;
(2)设P为椭圆上第一象限的点,F2为右焦点,若△PF1F2为直角三角形,求△PF1F2的面积.
答案
(1)由题意可设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,----------------------(2分)
由左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=
25
3
,得





c=3
a2
c
=
25
3
----------------------(4分)
解得:





a=5
c=3
从而b=4.----------------------(6分)
所以所求椭圆标准方程为
x2
25
+
y2
16
=1
.----------------------(8分)
(2)①当∠PF2F1=90°时由(1)可知右焦点为F2(3,0),所以此时P点坐标为(3,
16
5
)

于是△PF1F2的面积为S△PF1F2=
1
2
×6×
16
5
=
48
5
,----------------------(12分)
②当∠F2PF1=90°时,由椭圆定义和勾股定理得,





PF12+PF22=36,…(1)
PF1 +PF2  =10,…(2)

(2)式的平方减去(1)式得PF1•PF2=32,但PF1•PF2≤(
PF1+PF2
2
)2=25
,所以这种情况不存在.
综合①②得S△PF1F2=
48
5
.----------------------(16分)
举一反三
过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2-36=0有相同焦点的椭圆方程是(  )
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A.B.
C.D.
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点S (0, -
1
2
)
且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点,求|MN|的值.
选修4-4:坐标系与参数方程
椭圆中心在原点,焦点在x轴上.离心率为
1
2
,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,若2x+


3
y
的最大值为10,求椭圆的标准方程.
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
.斜率为k(k≠0)的直线ℓ过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m),且当k=1时,下焦点到直线ℓ的距离为


2

(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.
椭圆C的中心坐标为原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率均为


2
2
,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A


AP


PB

(1)求椭圆方程;
(2)若


OA


OB
=4


OP
,求m
的取值范围。.