已知直线l：x-3y+4=0，一个圆的圆心E在x轴正半轴上，且该圆与直线l和直线x=-2轴均相切．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）设P（1，1），过P作圆E的两条互相

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已知直线l：x-

y+4=0，一个圆的圆心E在x轴正半轴
上，且该圆与直线l和直线x=-2轴均相切．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）设P（1，1），过P作圆E的两条互相垂直的弦AB、CD，求AC中点M的轨迹方程．

答案

（1）设圆心c（a，0），a＞0，半径为r，
∵该圆与直线l和直线x=-2轴均相切，
则

a+2=r

a+4

⇒

a=0

r=2

，所求圆的方程为．x2+y2=4；
(2)设M(x，y)，由

|OM|2+|MC|2=|OC|2

|MC|=|MP|

得|OM|2+|MP|2=|OC|2
即x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4，整理得x²+y²-x-y-1=0即为所求轨迹方程．

举一反三

已知椭圆

=1，(a＞b＞0)的离心率为

，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为

的直线与椭圆交于不同的两点A、B．
（ I）求椭圆方程；
（ II）求△PAB面积的最大值．

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已知椭圆方程

=1(a＞b＞0)，其中a=b2，离心率e=

．
（I）求椭圆方程；
（II）若椭圆上动点P（x，y）到定点A（m，0）（m＞0）的距离|AP|的最小值为1，求实数m的值．

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已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定植．

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已知椭圆C的长轴长为2

，一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
②若直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

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已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为F₁（-3，0），右准线方程为x=

．
（1）求椭圆的标准方程和离心率e；
（2）设P为椭圆上第一象限的点，F₂为右焦点，若△PF₁F₂为直角三角形，求△PF₁F₂的面积．

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