已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=22,且经过抛物线x2=4y的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点B(0,-2)的直线l(斜率不等于零)与椭

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=22,且经过抛物线x2=4y的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点B(0,-2)的直线l(斜率不等于零)与椭

题型:不详难度:来源:
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=


2
2
,且经过抛物线x2=4y的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点B(0,-2)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E,F(E在B,F之间),△OBE与△OBF面积之比为λ,求λ的取值范围.
答案
(1)由已知得F(0,1),设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),则b=1
∵椭圆的离心率为e=


2
2
,∴
c
a
=


2
2

∵a2=b2+c2,∴a2=2,c=1
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1;
(2)由题意知l的斜率存在且不为零,设l方程为y=mx-2(m≠0)①,代入
x2
2
+y2=1,
整理得(2m2+1)x2-8mx+6=0,由△>0得m2
3
2

设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=
8m
2m2+1
,x1x2=
6
2m2+1

∵△OBE与△OBF面积之比为λ
|BE|
|BF|
,∴


BE


BF

∴x2=λx1
代入②得,消去x1
(1+λ)2
λ
=
32
3
×
1
2+
1
m2

∵m2
3
2

0<
1
m2
2
3

4<
(1+λ)2
λ
16
3

1
3
<λ<3
且λ≠1
举一反三
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=


2
2
,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为


2

(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线l与椭圆相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,试探究点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
题型:惠州一模难度:| 查看答案
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,短半轴长为1,当两准线间距离最小时,椭圆的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
(1)求长轴长为12,离心率为
2
3
的椭圆标准方程;
(2)求实轴长为12,离心率为
3
2
的双曲线标准方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为


2
+1

(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得|AC|=|BC|,并说明理由.
题型:黄冈模拟难度:| 查看答案
两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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