已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为2+1.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C(m,0)是线段O
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为2+1.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C(m,0)是线段O
题型:黄冈模拟
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为
2
+1
.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得|AC|=|BC|,并说明理由.
答案
(1)因为
e=
c
a
=
2
2
a+c=1+
2
,所以
a=
2
,c=1
,(4分)
∴b=1,椭圆方程为:
x
2
2
+
y
2
=1
(6分)
(2)由(1)得F(1,0),所以0≤m<1,假设存在满足题意的直线l,设l的方程为y=k(x-1),
代入
x
2
2
+
y
2
=1
,得(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2k
2
-2=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=
4
k
2
1+2
k
2
,
x
1
x
2
=
2
k
2
-2
2
k
2
+1
①,(10分)
y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
-2)=
-2k
2
k
2
+1
设AB的中点为M,则M(
2
k
2
2
k
2
+1
,
-k
2
k
2
+1
),
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即k
CM
•k
AB
=-1
∴
4
k
2
1+2
k
2
-2m+
-2k
2
k
2
+1
•k=0
∴(1-2m)k
2
=m
∴当
0≤m<
1
2
时,
k=±
m
1-2m
,即存在这样的直线l
当
1
2
≤m≤1
,k不存在,即不存在这样的直线l (15分)
举一反三
两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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以O为原点,
OF
所在直线为x轴,建立直角坐标系.设
OF
•
FG
=1
,点F的坐标为(t,0),t∈[3,+∞).点G的坐标为(x
0
,y
0
).
(1)求x
0
关于t的函数x
0
=f(t)的表达式,并判断函数f(x)的单调性.
(2)设△OFG的面积
S=
31
6
t
,若O以为中心,F,为焦点的椭圆经过点G,求当
|
OG
|
取最小值时椭圆的方程.
(3)在(2)的条件下,若点P的坐标为
(0,
9
2
)
,C,D是椭圆上的两点,
PC
=λ
PD
(λ≠1)
,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆,其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直,且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为
10
-
5
,则椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
l:x-
3
y+4=0
,一个圆的圆心E在x轴正半轴
上,且该圆与直线l和直线x=-2轴均相切.
(Ⅰ)求圆E的方程;
(Ⅱ)设P(1,1),过P作圆E的两条互相垂直的弦AB、CD,求AC中点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,(a>b>0)
的离心率为
3
2
,点P(2,1)是椭圆上一定点,若斜率为
1
2
的直线与椭圆交于不同的两点A、B.
( I)求椭圆方程;
( II)求△PAB面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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