（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲

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（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲

题型：杨浦区二模难度：来源：
（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C1的方程为
x2
9
-
y2
4
=1，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；

（2）已知抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：y2=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程y=


2
2
x(x≥0)，如果椭圆C1：
x2
16
+
y2
4
=1经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且|AB|=


2
，求椭圆C2的方程．
答案
（1）曲线C1的方程为
x2
9
-
y2
4
=1，伸缩比λ=2，
∴C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程为：
4x2
9
-
4y2
4
=1，即
4x2
9
-
y2
1
=1；
（2）抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：λ2y2=λx，⇒y2=
1
λ
x
1
λ
=32，⇒则伸缩比λ=
1
32
；
（3）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C2
λ2x2
16
+
λ2y2
4
=1，（12分）
解方程组





y=


2
2
x (x≥0)
x2
16
+
y2
4
=1
得点A的坐标为(
4


3
3
，
2


6
3
)（14分）
解方程组





y=


2
2
x (x≥0)
λ2x2
16
+
λ2y2
4
=1
得点B的坐标为(
4


3
3λ
，
2


6
3λ
)（15分）
|AB|=


(
4


3
3λ
-
4


3
3
)2+(
2


6
3λ
-
2


6
3
)2
=
2


2
|λ-1|
|λ|
=


2
，
化简后得3λ2-8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=
2
3
，
因此椭圆C2的方程为
x2
4
+y2=1或
x2
36
+
y2
9
=1．（18分）（漏写一个方程扣2分）
举一反三
在直角坐标系x0y中，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求M点的坐标及椭圆C1的方程；
（Ⅱ）已知直线l∥OM，且与椭圆C1交于A，B两点，提出一个与△OAB面积相关的问题，并作出正确解答．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF1F2的周长为4+2


2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x2+y2=
4
3
上动点P（x0，y0）（x0-y0≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．
题型：不详难度：| 查看答案
椭圆
x2
2
+y2=1上任意一点与右焦点连线段中点的轨迹方程______．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过P(-
1
2
，
1
2
)且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．
题型：不详难度：| 查看答案
已知与向量


e
=（1，


3
）平行的直线l1过点A（0，-2


3
），椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的中心关于直线l1的对称点在直线x=
a2
c
（c2=a2-b2）上，且直线l1过椭圆C的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l2交椭圆C于M，N两点，若∠MON≠
π
2
，且（


OM
•


ON
）•sin∠MON=
4


6
3
，（O为坐标原点），求直线l12的方程．
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