已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点M(1,32)在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F2为焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)直
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已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点M(1,32)在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F2为焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)直
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C的两个焦点分别为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),点
M(1,
3
2
)
在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F
2
为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l过点F
2
,且交y轴于D点,交抛物线E于A,B两点.
①若F
1
B⊥F
2
B,求|AF
2
|-|BF
2
|的值;
②试探究:线段AB与F
2
D的长度能否相等?如果|AB|=|F
2
D|,求直线l的方程.
答案
(1)由题意知,设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)
∴2a=
(-1-1
)
2
+(
3
2
-0
)
2
+
(1-1
)
2
+(
3
2
-0
)
2
=4,
∴a=2,又c=1,∴b=
3
,
∴椭圆c的方程为:
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(2)由题意可得,抛物线E,y
2
=4x,
设l:y=k(x-1),(k≠0),
y=k(x-1)
y
2
=4x
⇒k
2
x
2
-2(k
2
+2)x+k
2
=0,
△=16(k
2
+1)>0,恒成立,
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
x
1
+x
2
=2+
4
k
2
,x
1
x
2
=1,
①∵F
1
B⊥F
2
B,∴
x
22
+y
22
=1,
又
y
22
=4
x
2
,x
1
x
2
=1,
∴
x
22
+4x
2
=x
1
x
2
,
∴x
1
-x
2
=4,
∴|AF
2
|-|BF
2
|=x
1
-x
2
=4;
②假设|AB|=|F
2
D|,
∵l过点F
2
,∴|AB|=x
1
+x
2
+p=4+
4
k
2
,又D(0,-k),F
2
(1,0),
∵|DF
2
|=
1+
k
2
,
∵|AB|=|DF
2
|,∴4+
4
k
2
=
1+
k
2
,
∴k
4
-16k
2
-16=0,∴k
2
=8+4
5
或k
2
=8-4
5
(舍去),
即k=±2
2+
5
,所以l的方程为:y=±2
2+
5
(x-1)时,有|AB|=|DF
2
|;
举一反三
已知椭圆M的中心在原点,离心率为
1
2
,左焦点是F
1
(-2,0).
(1)求椭圆的方程;
(2)设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆M的两个焦点F
1
、F
2
构成一个直角三角形,若PF
1
>PF
2
,求
P
F
1
P
F
2
的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
P为直线x-y+3=0上任一点,一椭圆的两焦点为F
1
(-1,0)、F
2
(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
Γ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
3
,点P
(
3
5
5
,-2)
在此椭圆上,经过椭圆的左焦点F,斜率为K的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)当K=1时,求S
△AOB
的值.
题型:不详
难度:
|
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给定椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a
>b>0),称圆心在原点O,半径为
a
2
+
b
2
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
F(
2
,0)
,其短轴上的一个端点到F的距离为
3
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l
1
,l
2
,使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点.求证:l
1
⊥l
2
.
题型:辽宁一模
难度:
|
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离心率为
2
2
的椭圆C
1
的长轴两端点分别是双曲线C
2
:
x
2
-
y
2
4
=1
的两焦点.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)直线y=x+m与椭圆C
1
交于A,B两点,与双曲线C
2
两条渐近线交于P,Q两点,且P,Q在A,B之间,使|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,求m的值.
题型:不详
难度:
|
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